Das 16. Fünfeck, oder: Anmerkungen zur Pflasterung des Bahnhofsvorplatzes unter mathematischen Aspekten

rd | 22. Juli 2019, 14:07 | 6 Kommentare
Pure Mathematik

Das, wie zumindest ich finde, Schöne an der Mathematik ist, dass sich ihr praktischer Nutzen nicht immer sofort und meistens sogar gar nicht erschließen lässt. Das Betrübliche an diesem Einstieg in einen Artikel zur Pflasterung des Klever Bahnhofvorplatzes ist, dass durch die Erwähnung des Wortes Mathematik schon 50 % der Leser nicht mehr bis zu diesem Satz vorgedrungen sind. Beispielsweise führte die Beschäftigung mit Primzahlen, eines der etwas merkwürdigeren Hobbys meiner Jugend, lange Zeit zu rein gar nichts (die Erwähnung des Wortes Primzahlen hat die Ursprungsleserschaft nunmehr um 75 % reduziert). Heute beruht die ganze Verschlüsselungstechnologie darauf. In meinen späten Jahren hingegen fand ich es bemerkenswert, dass deren Verteilung im Zahlenraum auf eine ungeklärte Weise mit der Riemannschen Zeta-Funktion zusammenhängt.

Nun, lieber Leser, da wir unter uns sind, müssen wir uns nicht mehr zurückhalten und können uns der Klever Bahnhofspflasterung unter Aspekten zuwenden, die für die Entscheidungsträger in der Stadt vermutlich absolutes Neuland darstellen. Der Stadtrat votierte für eine ungewöhnliche Lösung, woraufhin die Verwaltung bei der Coesfelder Firma Klostermann („Wir leben Betonstein“) in großen Mengen einen Pflasterstein namens Pentaston Pur ordern ließ. Von diesem Produkt heißt es auf der Website des Unternehmens: „Der Stein mit den fünf Ecken ist der Geniestreich renommierter Landschaftsarchitekten. Von der Natur und Eisschollen inspiriert, entwickelten sie die ideale Form für eine vitale Flächenarchitektur. Das erfrischend andere Design wird gekrönt von feinen, homogenen Oberflächen.“

Es ist zu vermuten, dass bei der Entscheidungsfindung auch die Belastbarkeit eine Rolle gespielt hat. Obwohl der Bahnhofsvorplatz allein von Fußgängern benutzt wird, hat Klostermann den Pentaston Pur mit einem Lkw-Icon ausgezeichnet, was für „hohe Belastbarkeit“ und „keine Einschränkungen im Straßenverkehr“ steht. In Kleve wird für die Ewigkeit gebaut.

Das Besondere an diesem Stein aber ist, dass er die Form eines unregelmäßigen Fünfecks aufweist. Vier Kanten sind jeweils 20 Zentimeter lang, die fünfte Kante hingegen misst merkwürdige 22,7 Zentimeter. Auf den ersten Blick erscheint es wie ein Produktionsfehler, doch sobald man anfängt, sich mit der Frage zu beschäftigen, wie man ein Fünfeck parkettiert (wie der Fachmann sagt), also so verlegt, dass es weder Überlappungen noch Lücken in der Fläche gibt, landet man in den schönsten Gefilden der Mathematik.

Beginnen wir der Einfachheit halber bei einem regelmäßigen Fünfeck. Alle Kanten sind gleich lang, wodurch sich an den Ecken auch jeweils ein gleicher Winkel ergibt. Da die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks stets 540° beträgt (es wird die gleiche Formel angewendet, die bei einem Dreieck 180° und bei einem Viereck 360° ergibt), hat jeder der Eckwinkel des regelmäßigen Fünfecks die Größe von exakt 108°. Das macht es unmöglich, eine Fläche lückenlos mit regelmäßigen Fünfecken zu parkettieren, denn 108 ist kein ganzzahligen Teiler von 360. Irgendwie aber muss der Parkettierer auf diese 360° kommen, wenn die Steine sich lückenlos zusammenfügen lassen sollen.

Das funktioniert mit der einen, leicht verlängerten Kante. Daraus ergibt sich ein Fünfeck mit den vier Innenwinkeln 80° (zweimal), 120° (zweimal) und 140°. Drei Winkel von 120° schließen perfekt, oder aber zweimal 140° und einmal 80°, oder aber dreimal 80° und einmal 120°. Faszinierend!

Der Mathematiker allerdings spricht eher nüchtern davon, dass mit einem Fünfeck dieser Form eine monohedrale Parkettierung der Ebene möglich ist. Wie das farblich markierte Foto zeigt, lassen sich jeweils vier Kacheln so zusammenfügen, dass sich ein wiederholendes, kissenförmiges Muster ergibt. Dabei ist auch zu sehen, dass es zwei Typen von Kacheln gibt. Der zweite Typ unterscheidet sich von der sogenannten „Protokachel“ dadurch, dass er gespiegelt ist. Er lässt sich also nicht durch Drehung in den anderen Typ überführen.

Sich wiederholendes Muster

Unweigerlich entsteht die Frage, wie viele Typen von Parkettierung es mit unregelmäßigen, konvexen (d. h.: keiner der Innenwinkel überschreitet die Größe von 180°, es gibt also keine „Delle“) Fünfecken gibt. Der deutsche Mathematiker Karl Reinhardt (1895-1941) war der erste, der sich mit diesem Problem beschäftigte und darüber sogar seine Doktorarbeit schrieb. Er fand fünf Typen. Fun Fact:1928 löste Reinhardt das Problem, ein Polyeder zu finden, aus dem der dreidimensionale Raum lückenlos aufgebaut werden kann und das nicht Fundamentalbereich einer Bewegungsgruppe ist.

In der Forschung zur Parkettierung allerdings blieb es dann mehrere Jahrzehnte sehr ruhig. Erst Kershner (1968) und James (1974) wandten sich wieder dem Problem zu und fanden vier weitere Typen von Fünfecken, die eine Parkettierung zulassen. Darüber wiederum schrieb der Wissenschaftsjournalist Martin Gardner 1975 in seiner mathematischen Kolumne im Magazin Scientific American. Das animierte die Hausfrau Majorie Rice, eine Hobbymathematikerin, nach weiteren Fünfecken zu suchen – und siehe da, mit einer eigenen Methode (und selbst ersonnener Notation) fand sie eines, und, nachdem Gardner sie mit einer Mathematik-Professorin zusammengebracht hatte, drei weitere. Stein (1985) und Mann/McLoud/von Derau (2015) entdeckten in den folgenden Jahren noch zwei weitere Typen, wobei letzterer zwölf S-förmig angeordnete Fünfecke benötigt, um ein sich wiederholendes Muster zu erzeugen.

Dass nun vier Jahre lang kein weiteres Fünfeck gefunden wurde, kann an den Erkenntnissen von Michaël Rao liegen, wonach ein „16. Fünfeck“ nicht mehr existiert, bzw. immer nur eine Variante der bekannten 15 Fünfecke ist. Da bisher noch kein wissenschaftliches Peer-Review seiner Beweisführung vorliegt (wohl aber positive Einzelmeinungen), kann die Suche danach zu Ende sein – die abschließende Bestätigung steht aber derzeit noch aus (Wikipedia).

Und das alles bergen bei näherem Nachdenken die Pflastersteine vor dem Klever Bahnhof. Gut möglich also, dass, wenn demnächst von den „Kindern vom Bahnhof Kleve“ die Rede ist, damit keine devianten Teenager gemeint sind, um deren Zukunft man sich Sorgen machen muss, sondern Schüler von Mathematik-Leistungskursen, die unter pädagogischer Anleitung das 16. Fünfeck suchen.



Als Kleve noch wie DDR aussah (ca. 1984)

rd | 21. Juli 2019, 14:58 | 6 Kommentare

Grau in grau, aber der Osten kam einem damals noch farbloser vor

Wir sehen ein Geschäft mit dem frugalen Namen Hosen-Zentrale, welches sich auf den Verkauf von Beinkleidern für Herren spezialisiert hatte. Soweit es der Blick ins Schaufenster erkennen lässt, beschränkte sich die Dekoration auf eben jene Produkte, der Mensch oberhalb des Bauchnabels war schlichtweg nicht existent. Die Hosen-Zentrale war eigentlich ein Vorreiter für die Spezialisierung des Handels, wie sie heute zu beobachten ist, beispielsweise in Großstädten, wo es dann Fachgeschäfte für griechischen Yoghurt gibt. Aber in Kleve… jedenfalls war das Geschäft, links vom Burg-Theater-Kino (heute H&M) irgendwann Ende der 80er Jahre weg. Heute befindet sich an der Stelle der Optiker Fielmann.



Kermisdahl: Langsam wird’s kaskaesk

rd | 18. Juli 2019, 17:04 | 7 Kommentare
Mal ein wenig Erde drüberkippen

Aus dem Erdreich ragende Spundwände und reichlich aufgespritzter Beton prägten in den vergangenen Monaten den Anblick der Kaskade am Kermisdahl. Um zu verhindern, dass der Hang erneut abrutscht und möglicherweise die Häuser oben an der Kante, am Eisernen Mann, mit in die Tiefe reißt, schienen die Verantwortlichen auch nicht das geringste Risiko eingegangen zu sein. Viel hilft viel, so wirkten die Maßnahmen auf die Spaziergänger, die sich an der idyllischen Wanderstrecke verwundert die Augen rieben. Auch der Klevische Verein war not amused ob der brachialen Ästhetik, die sich dort Bahn brach. Die Stadtverwaltung wies stets darauf hin, dass es sich noch nicht um das endgültige Erscheinungsbild des Ensembles handele.

Nun können die Spaziergänger erste kosmetische Veränderungen bewundern. „Die angekündigten Verschönerungsarbeiten sind (noch?) kaum wahrnehmbar“, berichtet der Klevische Verein. „Lediglich die Spundwände wurden mit Erdaufschüttungen zur Hälfte abgedeckt.“ Ob die nun erfolgten Arbeiten zudem die Gnade der Experten unter den kleveblog-Lesern finden, ist noch eine ganz andere Frage – schauen wir, mal, was die Kommentare so ergeben…


Sommerkino im Kurhaus: Der Leopard

rd | 18. Juli 2019, 16:43 | keine Kommentare
Occasionally a role and a picture are so impressive that we behind the camera want to shout about it from the rooftops. I’ve just been privileged to work in such a picture. The film is: The Leopard…

Klassisches Kino als Kontrastprogramm zur Klever Kirmes im Kurhaus (so viel zum Thema Alliteration): In der Reihe Sommerkino zeigt das Museum an der Tiergartenstraße heute Abend um 21 Uhr den Spielfilm Der Leopard von Luchino Visconti. Der Eintritt ist frei.

Das Meisterwerk aus dem Jahr 1963 erzählt die Geschichte vom Untergang des sizilianischen Adels und vom Aufstieg des Bürgertums zur Zeit des Risorgimento als monumentales Epos in Bildern voll wehmütiger Schönheit. Das aufwendig inszenierte Gesellschaftspanorama kontrastiert dabei die aristokratische Welt der Paläste und Bälle des Fürsten von Salina mit Bürgerkriegsszenen im Gefolge der revolutionären Unruhen in Städten wie etwa Palermo. Der Film ist eine cineastische Adaption des gleichnamigen Romans von Giuseppe Tomasi di Lampedusa und gewann nicht zuletzt dank seiner hervorragenden Hauptdarsteller Burt Lancaster, Claudia Cardinale und Alain Delon zahlreiche internationale Preise wie beispielsweise die Goldene Palme der Filmfestspiele von Cannes. Wenn auch nicht jeder den Film kennt oder gar den Roman gelesen hat, so ist das Motto des Fürsten Tancredi doch allen Change Managern dieses Universums als inhaltsschwangeres Füllmaterial für PowerPoint-Präsentation geläufig: „Wenn wir wollen, dass alles bleibt, wie es ist, dann ist es nötig, dass alles sich verändert.“